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RSoftフォトニックデバイスツールにおける効率的なラジアルFDTD計算について
使用ツール:
はじめに
FDTD(Finite-Difference Time-Domain)は、フォトニックデバイスのシミュレーションにおいて、最も厳密な数値計算手法であることはよく知られています。しかし、FDTDは、コンピュータのメモリと計算時間の両方において、非常に高負荷な手法でもあります。そのため、その適用は非常に小さな構造のみに限定されています。回折レンズなどの多くのフォトニックデバイスは、円柱状の対称性を持っています。このような構造の対称性を利用し、放射状に計算(ラジアル計算)することで、わずかな計算機資源で完全な3次元シミュレーションと同じ結果を得ることができることが、文献 [1] で著者らによって示されています。
幸いなことに、ラジアル計算はRSoftのFDTDベースのフォトニックデバイスツール、FullWAVEの最初のバージョンである2001年版から実装されています。FullWAVEはフォトニクス分野で最初のFDTDシミュレーションソフトウェアで、過去20年以上にわたり、様々な円筒対称構造のシミュレーションに世界中で使用されてきました[2,3]。しかし、半径方向の計算の精度と効率は、これまで体系的に調査されたことはありませんでした。
本事例では、完全な3Dシミュレーションの精度と効率を比較することで、ラジアル計算のFDTD計算に関する詳細な検証が行われています。このアプローチは、準対称構造にも適用でき、正確な3D結果と比較した場合、非常に良い推定ができることが示されました。
検証
理論的には、ラジアル計算は、物理的な近似を行わないため、円筒対称構造に対して直接3D計算と同じ結果を与えるはずです。しかし、実際には、異なるアプローチに起因する数値誤差が発生する可能性があります。したがって、ラジアル計算を検証するためには、直接比較することが必要になります。
デバイス・レイアウト
この例では、参考文献[1]で著者らが検討したものと同様の多値回折レンズ(MDL)を利用しています。 下図は、RSoft CADで設計された焦点距離20μm、開口数(NA)0.5のMDLレイアウトです。3次元CADのレイアウトでは、これらのリングの断面をはっきりと見ることはできませんが、2次元ラジアル計算時のレイアウトと同じものです。 いずれも2019.09リリースの新機能であるPythonスクリプトAPIで生成したものです。製作のしやすさを考慮してピッチは300nmに設定しています。
図1. RSoft CADでの3D MDLのレイアウトと2Dラジアル計算のためのレイアウト
計算
2Dラジアル計算
この構造のシミュレーション領域は12.15μm×26μmで、メッシュサイズは10PPW(Point Per Wavelength)、すなわちシリカレンズでは36nm、空気中では53nmです。 図2に計算結果を示します。焦点距離はF=20.1μmとなり、設計値F=20μmに非常に近い値となりました。
シミュレーションは0.04GのRAMを使用し、1分以内に終了しました。
図2. 2次元ラジアル計算結果 R-Z view(左)、焦点位置(Z=20µm)でのX-Y view(中央)、中心に沿った強度(右)
フル3D計算
3DシミュレーションはX-Y対称条件で行われ、レンズの1/4のみがシミュレーションされます。図3は、焦点距離F=19.9µmでのシミュレーション結果で、2Dラジアル結果と同様です。
同じメッシュサイズの場合、3D計算には10G RAMで21分かかり、2Dラジアル計算よりも大幅に時間がかかり、より多くのRAMを使用することになりました。
図3. 3次元計算結果 R-Z view (左); 焦点でのX-Y view(Z=20µm) (中央); 中心に沿った強度(右)
比較結果
図3のテストケースでは、2Dラジアル計算と3D計算の結果はほぼ同じでしたが、計算時間や使用するメモリが大きく異なることがわかります。この違いを知るためには、直接比較する必要があります。
FDTDは線形の計算手法であり、計算時間とコンピュータメモリはいずれもメッシュ数と時間ステップに線形に比例します。2Dと3Dの場合、タイムステップが異なる以外は総伝搬時間は同じになるはずです。FDTDのタイムステップの大きさは次のように定義されます：
簡単かつ公平に比較するために、構造体の物理的な寸法を毎回変更する代わりに、単純にメッシュサイズを変更します。すべての空間方向で等しく均一なメッシュサイズを設定しました。
図4はメッシュサイズの関数として、計算時間とメモリの比較結果を示しています。
図4. 計算機資源の直接比較：計算時間(左)、計算メモリ(右)
2次元のラジアル計算が3次元のフル計算より数段速いことは明らかです。また、必要なメモリ量も数桁少なくなっています。この差はより大きな構造でより顕著に現れるでしょう。
準対称性構造(Quasi-Symmetric Structures)
ラジアル計算は円筒対称構造に対してのみ有効ですが、円筒状の準対称構造を持つ構造、特に実際の3次元解が事実上不可能な場合にも、迅速な推定を行うことが可能です。
LEDの発光効率を高めるためのフォトニック結晶(PhC)構造は、その一例です。
図5. フォトニック結晶構造を用いたLEDの模式図
上記5[4]の構造の場合、PhC構造は水平方向にバンドギャップを作るため、活性層で発生した光は垂直方向に発光する以外に行き場がなくなります。 したがって、PhCはブラッググレーティングのように振る舞い、迅速な計算のために以下の図6に示すように、円形ブラッググレーティングで近似することができます。
図6. PhC構造の円形ブラッググレーティングへの近似
この近似を検証するために、RSoft FullWAVEを用いて、2Dラジアルとフル3Dの両方でFDTDシミュレーションを行い、シミュレーション結果を以下の図7に示しました。
図7. PhC構造に対する2次元ラジアル計算の検証
計算結果は、2Dラジアル計算がフル3D計算の非常に良い近似であることを示す一方、前節で観察したように、コンピュータリソースの節約は多大なものであることがわかります。
念のため単純な2Dシミュレーションも行ってみましたが、2次元計算では構造が1次元の直線上のグレーティングになってしまい、構造が全く変わってしまうため、結果は大きく異なっています。
まとめ
RSoft Photonic Device Toolsのラジアル計算は、円筒対称の構造をシミュレーションするための効率的で正確な方法を提供します。計算時間とメモリの両方において、コンピュータリソースを大幅に節約することができます。また、完全な3D シミュレーションでは事実上不可能な、より大きな構造をシミュレーションすることも可能です。
円筒対称構造だけでなく、半径方向の計算は準対称構造にも適用でき、ある程度の誤差はあるものの、迅速に推定することができます。
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参考文献
[1] Banerji, S., Meem, M., Majumder, A., Vasquez, F. G., Sensale-Rodriguez, B., & Menon, R. (2019). Imaging with flat optics: metalenses or diffractive lenses. Optica, 6(6), 805-810.
[2] Kotlyar, Victor V., and Alexey A. Kovalev. "Nonparaxial propagation of a Gaussian optical vortex with initial radial polarization." JOSA A 27.3 (2010): 372-380.
[3] Yuan, G. H., S. B. Wei, and X-C. Yuan. "Nondiffracting transversally polarized beam." Optics Letters 36.17 (2011): 3479-3481.
[4] Barton, Daniel L., and Arthur J. Fischer. "Photonic crystals improve LED efficiency." SPIE Newsroom 10.1200603 (2006): 0160.